第一章 电磁现象的普遍规律 §1 电荷和电场

场:作为空间中某种分布的存在,一般来说这种分布随时间变化。


在电磁场中,我们用两个矢量函数 电场强度 \vec{E}(x,y,z,t), 磁感应强度\vec{B}(x,y,z,t) 来描述电磁场在时刻t的状态。


1.库伦定律

库伦定律:真空中静止的点电荷Q对另一个静止点电荷Q’的作用力\vec{F}

(1.1)   \[\vec{F} = \frac{QQ'}{4\pi\varepsilon_0 r^3}\vec{r}\]

其中,\vec{r}是Q到Q’的径矢,\varepsilon_0是真空电容率

库伦定律只是从现象上给出两电荷之间作用力的大小和方向,而实际的相互作用是通过场来传递的

  • 一个电荷周围存在一种特殊物质,称为电场
  • 另一电荷处于该电场内,就受到电场的作用力

我们用一个单位电荷在电场中所受的力来定义电荷所在点x上的电场强度\vec{E}(x)

(1.2)   \[\vec{F} := Q' \vec{E} \]

由库伦定律(1.1),一个静止点电荷Q所激发的电场强度为:

(1.3)   \[\vec{E} := \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^3} \vec{r} \]

其中\vec{r}是电荷源点到电磁场场点的矢径

电场具有叠加性,多个点电荷作用于某一场点时的电场强度为

(1.4)   \[\vec{E} = \sum_i \frac{Q_i}{4\pi\varepsilon_0 r_i^3} \vec{r}_i \]

许多实际情况中,常把电荷看作连续分布于某一区域V内,在V内某点x’取一个体积元dV’,在dV’内所含电荷dQ等于该点上的电荷密度\rho(x')乘以体积dV’:

    \[dQ = \rho(x') dV'\]

设由源点x’到场点x的矢径为\vec{r},则P点上的电场强度\vec{E}为:

由(1.3):

(1.5)   \begin{align*} \vec{E}(x) = \frac{\int dQ}{4\pi\varepsilon_0 r^3} dV' \nonumber \\ = \int_V \frac{\rho(x')\vec{r}}{4\pi\varepsilon r^3}dV'  \end{align*}


2.高斯定理和电场的散度

一个电荷Q发出的电场强度通量总是正比于Q,与附近有没有其他电荷存在无关,因此,一个电荷激发的电场强度通量表示着电荷对电场作用的基本数量关系。

设S表示包围着电荷Q的一个闭合曲面,d\vec{S}为S上的一个定向面元,以外法线方向为正向,通过闭合曲面S的电场强度\vec{E}的通量定义为面积分:

    \[\oint_s \vec{E} \cdot d\vec{S}\]

由库伦定律可以推出关于电场强度通量的高斯定理:

(1)   \begin{align*} \oint_s \vec{E}\cdot d\vec{S} = \oint_s E\cos\theta dS \\ = \oint_s \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2} \cos \theta dS \end{align*}

其中dS\cos\theta为面元投影到以r为半径的球面上的面积,\cos\theta dS / r^2 为面元d\vec{S}对电荷Q张开的立体角元 d\Omega,从而

    \[\oint_s \vec{E}\cdot d\vec{S} = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0} \oint d\Omega = \frac{Q}{\varepsilon_0}\]

其中,\oint d\Omega = 4\pi,根据立体角元的定义积分结果

因此,电场强度通量的高斯定理:

(1.6)   \[\oint_s \vec{E}\cdot d\vec{S} = \frac{Q}{\varepsilon_0} \]

若电荷连续分布于空间中(dQ = \rho(x') dV'),则有:

(1.7)   \[\oint_s \vec{E}\cdot d\vec{S} = \frac{1}{\varepsilon_0}\int_V \rho dV \]

从而,

    \[\frac{\oint_s \vec{E}\cdot d\vec{S}}{\int_V dV} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}\]

当体积V不断缩小,由矢量分析中的(0.1)

(1.8)   \[\vec{\nabla} \cdot \vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}  \]

这就是高斯定理的微分形式。该式指出,电荷是电场的源,电场线从正电荷出发而终止于负电荷。


3.静电场的旋度

散度是矢量场性质的一个方面,要确定一个矢量场,还需要给出其旋度,旋度反应了场的环流性质。

计算点电荷Q所激发的电场强度\vec{E}对任一闭合回路L的环量:

    \[\oint_L \vec{E} \cdot d\vec{l}\]

由库伦定律(1.3):

    \[\oint_L \vec{E} \cdot d\vec{l} = \frac{Q}{4\pi\epsilon_0} \oint_L \frac{\vec{r}}{r^3}\cdot d\vec{l}\]

根据矢量分析:

    \[\vec{r} \cdot d\vec{l} = r \cos\theta dl = r dr\]

因而

    \[\oint_L \vec{E} \cdot d\vec{l} = \frac{Q}{4\pi\epsilon_0} \oint_L \frac{dr}{r^2} = - \frac{Q}{4\pi\epsilon_0} \oint_L d\frac{1}{r}\]

由于被积函数为一全微分,而环路积分为零,由此

(1.9)   \[\oint_L \vec{E} \cdot d\vec{l} = 0 \]

我们把回路L不断缩小,使它包围一个面元d\vec{S},则有:

    \[\frac{\oint_L \vec{E} \cdot d\vec{l}}{d\vec{S}}\]

根据旋度矢量分析(0.3a),当面元无穷小时,有

(1.10)   \[\vec{\nabla} \times \vec{E} = 0 \]

从而说明电场具有无旋性

【本节完】

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