第一章 电磁现象的普遍规律 §2 电流和磁场

1. 电荷守恒定律

定义电流密度\vec{J}

d\vec{S}为一面元,它与该点上的电流方向有夹角\theta,则定义电流密度\vec{J},它的方向沿着该点上的电流方向,他的数值等于单位时间垂直通过单位面积的电荷量,从而通过面元d\vec{S}的电流dI为:

(2.1)   \[dI = \vec{J}\cdot d\vec{S} \]

通过任一曲面S的总电流I为:

(2.2)   \[I = \int_S \vec{J}\cdot d\vec{S} \]

若设带电粒子的电荷密度为\rho,平均速率为\vec{v},则电流密度为

(2.3)   \[\vec{J} = \rho \vec{v} \]

对于电荷守恒定律,通过界面流出的总电流应等于该区域V内的电荷减少率:

(2.4)   \[\oint_S \vec{J} \cdot d\vec{S} = - \int_V \frac{\partial \rho}{\partial t} dV \]

根据高斯定理和(0.1)将面积分变为体积分:

    \[\oint_S \vec{J} \cdot d\vec{S} = \int_V \vec{\nabla} \cdot \vec{J} dV\]

从而有

(2.5)   \[\vec{\nabla} \cdot \vec{J} + \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0 \]

又称为电流连续性方程。

对于恒定电流,物理量不随时间变化

(2.6)   \[\vec{\nabla} \cdot \vec{J} = 0 \]


2. 毕奥萨伐尔定律

定律研究电流和磁场的相互作用:两电流之间存在相互作用力,这种作用力通过一种特殊物质来传递,这种特殊物质成为磁场。对电流有作用力是磁场的特征性质。

一个电流元Id\vec{l}在磁场中所受的力为:

(2.7)   \[d\vec{F} = I d\vec{l} \times \vec{B} \]

恒定电流激发磁场的规律由毕奥萨伐尔定律给出:

(2.8a)   \[\vec{B}(x) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int_V \frac{ \vec{J}(x^{\prime}) \times \vec{r} }{r^3} dV^{\prime} \]

其中,x^\prime为源点,x为场点,\vec{r}为源场点的矢径,\mu_0为真空磁导率

如果电流集中于细导线上,d\vec{l}为线元,d\vec{S}为面元,则\vec{J}dV^\prime可以表示为

    \[\vec{J}dV^\prime = \vec{J} d\vec{S} d\vec{l}\]

对该式求面积分,由(2.2),可得Id\vec{l}

从而毕奥萨伐尔定律在细导线恒定电流激发的磁场可表示为:

(2.8b)   \[\vec{B}(x) = \frac{\mu_0}{4\pi}\oint_L \frac{Id\vec{l} \times \vec{r}}{r^3} \]


3. 磁场的环量和旋度

磁场沿闭合曲线的环量与通过闭合曲线所围曲面的电流I成正比

(2.9)   \[\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I \]

设有一根无限长直线导线载有电流I,方向沿z轴,如下图所示

则利用(2.8b),

(1)   \begin{align*} \vec{B}(x) = \frac{\mu_0}{4\pi}\oint_L \frac{Id\vec{l} \times \vec{r}}{r^3} \\ =  \frac{\mu_0 I}{4\pi r^2}\oint_L dl \hat{e}_z \times \hat{e}_r \\ =  \frac{\mu_0 I}{4\pi r^2}\oint_L dl \hat{e}_\phi \\ = \frac{\mu_0 I}{4\pi r^2} \cdot 2\pi r \cdot \hat{e}_\phi = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} \cdot \hat{e}_\phi \end{align*}

将结果代入安培环路定律(2.9),选择半径为r 的圆作为闭合回路L,此时d\vec{l}方向为\hat{e}_\phi,有:

    \[\oint_L \vec{B} \cdot d\vec{l} = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} \cdot 2\pi r = \mu_0 I\]

如果所选闭合曲线内没有电流通过,则I = 0,磁场环量为零

同时由于(2.2),环路定律可以写为

(2.10)   \[\oint_L \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I = \mu_0 \int_S \vec{J} \cdot d\vec{S} \]

我们将回路L不断缩小,使它围绕着一个面元d\vec{S},通过矢量分析(0.3a,b),我们可得在恒定磁场中的微分方程:

(2.11)   \[\vec{\nabla} \times \vec{B} = \mu_0 \vec{J} \]


4. 磁场的散度

电流激发的磁感线总是闭合曲线,从而磁感应强度\vec{B}是无源场,从而\vec{B}对任何闭合曲面的总通量为零:

(2.12)   \[\oint_S \vec{B} \cdot d\vec{S} = 0 \]

微分形式

(2.13)   \[\vec{\nabla} \cdot \vec{B} = 0 \]

通过毕奥萨伐尔定律(2.8a)证明:

(2)   \begin{align*} \vec{B}(x) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int_V \frac{ \vec{J}(x^{\prime}) \times \vec{r} }{r^3} dV^{\prime} \\ = \frac{\mu_0}{4\pi} \int_V \vec{J}(x^{\prime}) \times \frac{ 1 }{r^2}\hat{e}_r dV^{\prime} \\ =  - \frac{\mu_0}{4\pi} \int_V \vec{J}(x^{\prime}) \times \vec{\nabla}_r \frac{1}{r} dV^{\prime} \end{align*}

其中,\vec{\nabla}_r与源点\vec{J}(x^{\prime})无关(\vec{\nabla}_r \times\vec{J}(x^{\prime}) = 0 ),由矢量分析

    \[\vec{\nabla} \times (\varphi \vec{f}) = (\vec{\nabla}\varphi) \times \vec{f} + \varphi \vec{\nabla} \times \vec{f}\]

从而

    \[\vec{\nabla}\times \left[ \vec{J}(x^\prime) \frac{1}{r} \right] = - \left( \vec{\nabla} \frac{1}{r} \right) \times \vec{J}(x^\prime) - 0\]

上式有:

(3)   \begin{align*} \vec{B}(x) = - \frac{\mu_0}{4\pi} \int_V \vec{J}(x^{\prime}) \times \vec{\nabla}_r \frac{1}{r} dV^{\prime} \\ = \frac{\mu_0}{4\pi} \vec{\nabla} \times \int_V  \frac{ \vec{J}(x^\prime)}{r} dV^\prime \\ = \vec{\nabla} \times \left( \frac{\mu_0}{4\pi}\int_V  \frac{ \vec{J}(x^\prime)}{r} dV^\prime \right) \end{align*}

因此

    \[\vec{\nabla} \cdot \vec{B} = \vec{\nabla} \cdot \left[ \vec{\nabla} \times \left(\frac{\mu_0}{4\pi}\int_V  \frac{ \vec{J}(x^\prime)}{r} dV^\prime \right)\right] = 0\]

【本节完】

 

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