1. 电荷守恒定律
定义电流密度:
设为一面元,它与该点上的电流方向有夹角
,则定义电流密度
,它的方向沿着该点上的电流方向,他的数值等于单位时间垂直通过单位面积的电荷量,从而通过面元
的电流dI为:
(2.1)
通过任一曲面S的总电流I为:
(2.2)
若设带电粒子的电荷密度为,平均速率为
,则电流密度为
(2.3)
对于电荷守恒定律,通过界面流出的总电流应等于该区域V内的电荷减少率:
(2.4)
根据高斯定理和(0.1)将面积分变为体积分:
从而有
(2.5)
又称为电流连续性方程。
对于恒定电流,物理量不随时间变化
(2.6)
2. 毕奥萨伐尔定律
定律研究电流和磁场的相互作用:两电流之间存在相互作用力,这种作用力通过一种特殊物质来传递,这种特殊物质成为磁场。对电流有作用力是磁场的特征性质。
一个电流元在磁场中所受的力为:
(2.7)
恒定电流激发磁场的规律由毕奥萨伐尔定律给出:
(2.8a)
其中,为源点,
为场点,
为源场点的矢径,
为真空磁导率
如果电流集中于细导线上,为线元,
为面元,则
可以表示为
对该式求面积分,由(2.2),可得
从而毕奥萨伐尔定律在细导线恒定电流激发的磁场可表示为:
(2.8b)
3. 磁场的环量和旋度
磁场沿闭合曲线的环量与通过闭合曲线所围曲面的电流I成正比
(2.9)
设有一根无限长直线导线载有电流I,方向沿z轴,如下图所示
则利用(2.8b),
(1)
将结果代入安培环路定律(2.9),选择半径为r 的圆作为闭合回路L,此时方向为
,有:
如果所选闭合曲线内没有电流通过,则,磁场环量为零
同时由于(2.2),环路定律可以写为
(2.10)
我们将回路L不断缩小,使它围绕着一个面元,通过矢量分析(0.3a,b),我们可得在恒定磁场中的微分方程:
(2.11)
4. 磁场的散度
电流激发的磁感线总是闭合曲线,从而磁感应强度是无源场,从而
对任何闭合曲面的总通量为零:
(2.12)
微分形式
(2.13)
通过毕奥萨伐尔定律(2.8a)证明:
(2)
其中,与源点
无关(
),由矢量分析
从而
上式有:
(3)
因此
【本节完】