第一章 电磁现象的普遍规律 §3 麦克斯韦方程组

  • 变化的磁场激发电场
  • 变化的电场激发磁场

1. 电磁感应定律

闭合线圈中的感应电动势与通过该线圈内部磁通量的变化率成正比,由实验测定,当通过由闭合曲线L围绕的S曲面的磁通量增加时,线圈L上的感应电动势\epsilon与规定呈右手螺旋定则的L围绕方向相反,因此用负号表示:

(3.1)   \[\epsilon = - \frac{d}{dt} \int_S \vec{B}\cdot d\vec{S} \]

线圈上电荷是受到电场作用而运动的,线圈上有感应电流就表明空间存在电场,而感应电动势是电场强度沿闭合回路的线积分:

(3.2)   \[\oint_L \vec{E}\cdot d\vec{l} = - \frac{d}{dt} \int_S \vec{B}\cdot d\vec{S} \]

若回路固定,有

    \[\oint_L \vec{E}\cdot d\vec{l} = -  \int_S \frac{\partial \vec{B} }{\partial t} \cdot d\vec{S}\]

利用旋度定义(0.3a):微分形式为

(3.3)   \[\vec{\nabla} \times \vec{E} = - \frac{\partial \vec{B} }{\partial t} \]


2. 位移电流

在非恒定情形下\vec{\nabla} \vec{J} \neq 0,而对(2.11) 两侧求散度后与电荷守恒定律发生矛盾,所以我们引入位移电流\vec{J}_D,它和电流\vec{J}合起来构成闭合的量,即

(3.4)   \[\vec{\nabla} \cdot (\vec{J} + \vec{J}_D ) = 0 \]

且位移电流同样会产生磁效应,则(2.11)可改写为

(3.5)   \[\vec{\nabla} \times \vec{B} = \mu_0 (\vec{J} + \vec{J}_D) \]

从而满足两边散度为0,(2.11) 不再有矛盾

由电荷守恒定律(2.5):

(3.6)   \[\vec{\nabla} \cdot \vec{J} + \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0 \]

\rho和电场散度有

(3.7)   \[\vec{\nabla} \cdot \vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0} \]

合并(3.6),(3.7)

(3.8)   \[\vec{\nabla} \cdot \left(\vec{J} + \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \right) = 0 \]

从而\vec{J}_D可以表示为

(3.9)   \[\vec{J}_D = \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \]


3. 麦克斯韦方程组

它反映一般情况下电荷电流激发电磁场,以及电磁场内部的运动规律,在\rho\vec{J}为零的区域,电场和磁场通过本身的相互激发而运动传播。

(1)   \begin{align*} \vec{\nabla} \cdot \vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0} \\ \vec{\nabla} \times \vec{E} = - \frac{\partial\vec{B}}{\partial t} \\ \vec{\nabla} \cdot \vec{B} = 0 \\ \vec{\nabla} \times \vec{B} = \mu_0 \vec{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial\vec{E}}{\partial t} \end{align*}

麦克斯韦方程组不仅揭示了电磁场的运动规律,更揭示了电磁场可以独立于电荷之外而存在。


4. 洛伦兹力公式

电磁场和带电物质之间有密切的联系,麦克斯韦方程组反映了电荷激发场以及场内部运动,场反过来对电荷体系的作用则体现在洛伦兹力上。

其中,静止点电荷受到静电力作用\vec{F} = Q\vec{E} (库仑定律),恒定电流元\vec{J}dV受到磁场作用力d\vec{F} = \vec{J} \times \vec{B} dV(安培定律),若电荷连续分布,密度为\rho,则电荷系统单位体积所受力密度\vec{f}

(3.11)   \[\vec{f} = \rho \vec{E} + \vec{J} \times \vec{B}  \]

对于带电系统,若电荷为q,速度为\vec{v},则\vec{J}可以表示为单位体积内q\vec{v}之和,把电磁作用力公式应用与每一个粒子上,则有

(3.12)   \[\vec{F} = q\vec{E} + q\vec{v}\times\vec{B} \]

(3.12)称为洛伦兹力(Lorentz Force)公式


近代物理学实践证实了洛伦兹力公式对任意运动的带电粒子都是适用的。现代带电粒子加速器,电子光学设备等都是以麦克斯韦方程组和洛伦兹力公式作为设计理论基础。

【本节完】

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