第一章电磁现象的普遍规律 §3 麦克斯韦方程组

变化的磁场激发电场
变化的电场激发磁场

1. 电磁感应定律

闭合线圈中的感应电动势与通过该线圈内部磁通量的变化率成正比，由实验测定，当通过由闭合曲线L围绕的S曲面的磁通量增加时，线圈L上的感应电动势 $\epsilon$ 与规定呈右手螺旋定则的L围绕方向相反，因此用负号表示：

(3.1) $\epsilon = - \frac{d}{dt} \int_S \vec{B}\cdot d\vec{S}$

线圈上电荷是受到电场作用而运动的，线圈上有感应电流就表明空间存在电场，而感应电动势是电场强度沿闭合回路的线积分：

(3.2) $\oint_L \vec{E}\cdot d\vec{l} = - \frac{d}{dt} \int_S \vec{B}\cdot d\vec{S}$

若回路固定，有

$\oint_L \vec{E}\cdot d\vec{l} = - \int_S \frac{\partial \vec{B} }{\partial t} \cdot d\vec{S}$

利用旋度定义(0.3a)：微分形式为

(3.3) $\vec{\nabla} \times \vec{E} = - \frac{\partial \vec{B} }{\partial t}$

2. 位移电流

在非恒定情形下 $\vec{\nabla} \vec{J} \neq 0$ ，而对(2.11) 两侧求散度后与电荷守恒定律发生矛盾，所以我们引入位移电流 $\vec{J}_D$ ，它和电流 $\vec{J}$ 合起来构成闭合的量，即

(3.4) $\vec{\nabla} \cdot (\vec{J} + \vec{J}_D ) = 0$

且位移电流同样会产生磁效应，则(2.11)可改写为

(3.5) $\vec{\nabla} \times \vec{B} = \mu_0 (\vec{J} + \vec{J}_D)$

从而满足两边散度为0，(2.11) 不再有矛盾

由电荷守恒定律(2.5):

(3.6) $\vec{\nabla} \cdot \vec{J} + \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0$

$\rho$ 和电场散度有

(3.7) $\vec{\nabla} \cdot \vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$

合并(3.6),(3.7)

(3.8) $\vec{\nabla} \cdot \left(\vec{J} + \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \right) = 0$

从而 $\vec{J}_D$ 可以表示为

(3.9) $\vec{J}_D = \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$

3. 麦克斯韦方程组

它反映一般情况下电荷电流激发电磁场，以及电磁场内部的运动规律，在 $\rho$ 和 $\vec{J}$ 为零的区域，电场和磁场通过本身的相互激发而运动传播。

(1) $\begin{align*} \vec{\nabla} \cdot \vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0} \\ \vec{\nabla} \times \vec{E} = - \frac{\partial\vec{B}}{\partial t} \\ \vec{\nabla} \cdot \vec{B} = 0 \\ \vec{\nabla} \times \vec{B} = \mu_0 \vec{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial\vec{E}}{\partial t} \end{align*}$

麦克斯韦方程组不仅揭示了电磁场的运动规律，更揭示了电磁场可以独立于电荷之外而存在。

4. 洛伦兹力公式

电磁场和带电物质之间有密切的联系，麦克斯韦方程组反映了电荷激发场以及场内部运动，场反过来对电荷体系的作用则体现在洛伦兹力上。

其中，静止点电荷受到静电力作用 $\vec{F} = Q\vec{E}$ (库仑定律），恒定电流元 $\vec{J}dV$ 受到磁场作用力 $d\vec{F} = \vec{J} \times \vec{B} dV$ (安培定律），若电荷连续分布，密度为 $\rho$ ，则电荷系统单位体积所受力密度 $\vec{f}$ 为