第一章 电磁现象的普遍规律 §4 介质的电磁性质

1. 关于介质的概念

介质由分子构成,是一个带电粒子系统,由于分子电中性,而且热平衡时各分子内部的粒子运动一般没有确定关联,因此当没有外场时,介质内部一般不出现宏观的电荷电流分布,其内部的宏观电磁场为零。

当有外场时,介质中的带电粒子受场的作用,正负电荷发生相对位移,有极分子(正负电中心不重合)的取向以及分子电流的取向取向亦呈现一定规则性,这就是介质的极化和磁化现象。

由于极化和磁化现象,介质内部和表面出现宏观电荷电流分布,从而激发起附加宏观电磁场,叠加在原外场上而得到介质内的总电磁场。


2. 介质的极化

两类电介质: 1. 正负电中心重合,无电偶极矩;2. 正负点中心补充和,有电偶极矩。

由于分子热运动的无规性,物理小体积内的平均电偶极矩为零,也没有宏观电偶极矩分布。

在外场作用下,1类电介质正负电中心被拉开,后一类介质的分子电偶极矩平均有一定取向性,因此都出现宏观电偶极矩分布,用电极化强度\vec{P}表示

(4.1)   \[\vec{P} = \frac{\sum_i \vec{p}_i}{\Delta V} \]

其中\vec{p}_i为第i个分子的电偶极矩,求和对\Delta V内所有分子求和

由于极化,物理小体积内可能出现净余的正点或负电,即出现宏观束缚电荷分布,首先分析束缚电荷密度\rho_P和电极化强度\vec{P}的关系

设每个分子由相距为\vec{l}的一对正负电荷\pm q构成,分子电偶极矩为

    \[\vec{p} = q \vec{l}\]

如下图所示(图片来自于 《电动力学》第三版 高等教育出版社 郭硕鸿著)

介质内某曲面S上的一个面元d\vec{S},介质极化后,有一些分子电偶极子跨过d\vec{S},由图所示,当偶极子的负电荷处于体积\vec{l}d\vec{S}时,同一偶极子的正电荷就穿过界面d\vec{S}外,设单位体积分子数为n,则穿出d\vec{S}外面的正电荷为

(4.2)   \[nq\vec{l} \cdot d\vec{S} = n \vec{p} \cdot d\vec{S} = \vec{P} \cdot d\vec{S} \]

对包围区域V的闭合界面S积分,则V内通过S穿出去的正电荷为

    \[\oint_S \vec{P} \cdot d\vec{S}\]

由于介质电中性,该量也等于V内净余的负电荷,而这种由于极化而出现的电荷分布称为束缚电荷,以\rho_P 表示束缚电荷密度,有

    \[\int_V \rho_P dV = - \oint_S \vec{P} \cdot d\vec{S}\]

通过(0.1)将右边的面积分化为体积分,可得微分形式

(4.3)   \[\rho_P = - \vec{\nabla} \cdot d\vec{P} \]

从而我们可以推导出介质中的麦克斯韦方程组

(4.5)   \[\varepsilon_0 \vec{\nabla} \cdot \vec{E} = \rho_f + \rho_P \]

(4.6)   \[\rightarrow \vec{\nabla} \cdot (\varepsilon_0 \vec{E} + \vec{P} = \rho_f \]

引入电位移矢量 \vec{D} = \varepsilon_0 \vec{E} + \vec{P} (4.7)为辅助物理量,不代表介质中的场强

从而

    \[\vec{\nabla} \cdot \vec{D} = \rho_f\]

对于一般各向同性线性介质,极化强度\vec{P}\vec{E}之间有一简单线性关系:

(4.9)   \[\vec{P} = \chi_e \varepsilon_0 \vec{E} \]

\chi_e称为介质的极化率,从而由(4.7):

(4.10)   \[\vec{D} = \varepsilon \vec{E} \]

(4.11)   \[\varepsilon = \varepsilon_r \varepsilon_0, \varepsilon_r = 1 + \chi_e \]

\varepsilon称为介质的电容率,\varepsilon_r称为相对电容率


3. 介质的磁化

介质分子内的电子运动构成微观分子电流,在外磁场作用下,分子电流出现有规则取向,形成宏观磁化电流密度\vec{J}_M

分子电流可以用磁偶极矩描述,若把分子电流看作载有电流i的小线圈,线圈面积矢量为\vec{a},则与分子电流相应的磁矩可表示为:

(4.12)   \[\vec{m} = i \vec{a} \]

介质磁化后没出现宏观磁矩分布,用磁化强度\vec{M}表示,它定义为物理小体积\Delta V内的总偶极矩与\Delta V之比

(4.13)   \[\vec{M} = \frac{\sum_i \vec{m}_i}{\Delta V} \]

现在来求磁化电流密度\vec{J}_M与磁化强度\vec{M}的关系,如下图所示(图片来自于 《电动力学》第三版 高等教育出版社 郭硕鸿著)

图1-9中只有被L所链的电流环路对S曲面内的总磁化电流I_M有贡献,图1-10显示在线元dl上,单位体积的分子电流,若单位体积内分子数为n,则L链环的分子电流数目为:

    \[\oint_L n\vec{a}\cdot d\vec{l}\]

该数值乘上每个分子的电流i,即得到S背面流向前面的总磁化电流:

    \[I_M = i \cdot \oint_L n\vec{a}\cdot d\vec{l} = \oint_L n\vec{m}\cdot d\vec{l} = \oint_L \vec{M}\cdot d\vec{l}\]

\vec{J}_M表示磁化电流密度

    \[\int_S \vec{J}_M \cdot d\vec{S} = \oint_L \cdot{M}\cdot d\vec{l}\]

利用矢量分析,得到微分形式

(4.14)   \[J_M = \vec{\nabla} \times \vec{M} \]

当电场变化时,介质的极化强度\vec{P}也发生变化,这种变化产生另一种电流,称为极化电流

    \[\vec{P} = \frac{\sum_i e_i \vec{x}_i}{\Delta V}\]

其中 e_i 为电荷,\vec{x}_i是带点粒子的位矢,从而

(4.15)   \[\frac{\partial\vec{P}}{\partial t} = \vec{J}_P \]

\vec{J}_P 称为极化电流密度,磁化与极化电流密度之和是介质内的总诱导电流密度。

因此在介质的麦克斯韦方程组中

(4.16)   \[\frac{1}{\mu_0} \vec{\nabla} \times \vec{B} = \vec{J}_f + \vec{J}_M + \vec{J}_P + \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \]

由极化电流的微分形式

(4.17)   \[\vec{\nabla} \times \left( \frac{\vec{B}}{\mu_0} - \vec{M} \right) = \vec{J}_f +\frac{\partial \vec{D}}{\partial t} \]

引入磁场强度\vec{H},定义为

(4.18)   \[\vec{H} = \frac{\vec{B}}{\mu_0} - \vec{M} \]

则有

(4.19)   \[\vec{\nabla} \times \vec{H} =  \vec{J}_f + \frac{\partial \vec{D}}{\partial t} \]

备注,磁场强度\vec{H}为辅助物理量,不代表介质内的场强,对于各向同性非铁磁物质,\vec{M}\vec{H}之间有简单的线性关系

(4.20)   \[\vec{M} = \chi_M \vec{H} \]

\chi_M称为磁化率,从而

(4.21)   \[\vec{B} = \mu \vec{H} \]

(4.22)   \[\mu = \mu_r \mu_0, \mu_r = 1 + \chi_M \]

\mu称为磁导率,\mu_r 称为相对磁导率


4.介质中的麦克斯韦方程组

略去自由电荷和电流分布角标

(1)   \begin{align*} \vec{\nabla} \times \vec{E} = - \frac{\partial{B}}{\partial t} \\ \vec{\nabla} \times \vec{H} = \vec{J} + \frac{\partial \vec{D}}{\partial t} \\ \vec{\nabla} \cdot \vec{D} = \rho \\ \vec{\nabla} \cdot \vec{B} = 0 \end{align*}

对于一般线性介质

(2)   \begin{align*} \vec{D} = \varepsilon\vec{E} \\ \vec{B} = \mu \vec{H} \\ \vec{J} = \sigma \vec{E} \end{align*}

【本节完】

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