第一章 电磁现象的普遍规律 §5 电磁场的边值关系 §6 能量和能流

§5 电磁场的边值关系

麦克斯韦方程组可以应用于连续介质内部,但在两介质分界面上,由于出现面电荷电流分布,是物理量发生跃变,微分形式的麦克斯韦方程组不再适用。

若设\sigma为自由面电荷密度,j\cdot\vec{e}_k为自由电流线密度,方向由下图定义,其中黑框为边值界面面元,n为法相分量,t为切向分量,k为传播方向

边值关系可以写为:

(1)   \begin{align*} \underbrace{\vec{e}_n \times (\vec{E}_2 - \vec{E}_1)}_{\vec{e}_t} = 0 \\ \underbrace{\vec{e}_n \times (\vec{B}_2 - \vec{B}_1)}_{\vec{e}_t} = j\cdot\vec{e}_k \\ \underbrace{\vec{e}_n \cdot (\vec{D}_2 - \vec{D}_1) }_{\vec{e}_n} = \sigma \\ \underbrace{\vec{e}_n \cdot (\vec{B}_2 - \vec{B}_1) }_{\vec{e}_n} = 0 \end{align*}


§6 能量和能流

电磁场是一种物质,具有内部运动。电磁场的运动和其他物质运动形式之间能够互相转化,这种普遍性的反应是各种运动形式有共同的运动量度——能量。

1.场和电荷系统的能量守恒的一般形式

以天线辐射电磁波的过程为例,在这个过程中,电磁能量随着电磁波的运动,不断从天线传向远方,在空间各地上,都可以接收到电磁波的能量,但在不同点上的接收功率不同,它与离天线的距离和方向有关。

因此,能量是以一定方式分布于场内,且由于场的运动,场能量不是固定而是随着场运动在空间中传播。所以引入两物理量来描述电磁场的能量。

(1) 场的能量密度 \omega := \omega(\vec{x},t):场内单位体积的能量

(2) 场的能流密度 \vec{S},它描述能量在场内的传播,数值上等于单位时间垂直流过单位横截面的能量,方向代表能量传输方向。也称为Poynting vector

在空间V内,能量守恒定律要求单位时间 通过界面S流入V内的能量 等于 场对V内电荷做功的功率V内电磁场能量增加率 之和。

(6.3)   \[\int_\infty \vec{f} \cdot \vec{v} dV = - \frac{d}{dt} \int_\infty \omega dV \]

表示场对电荷所作的总功率等于场的总能量减少率。

微分形式

(6.2)   \[\vec{\nabla} \cdot \vec{S} + \frac{\partial \omega}{\partial t} = -\vec{f} \cdot \vec{v} \]

2. 表达式

将洛伦兹力公式代入,

(6.4)   \[\vec{f} \cdot \vec{v} = (\rho \vec{E} + \rho \vec{v} \times \vec{B}) \cdot \vec{v} = \rho \vec{v} \cdot \vec{E} = \vec{J} \cdot \vec{E} \]

导入麦克斯方程组,用场量表示\vec{J} \cdot \vec{E}

(6.5)   \[\vec{J} \cdot \vec{E} = \vec{E}\cdot(\vec{\nabla} \times \vec{H} ) - \vec{E} \cdot \frac{\partial \vec{D}}{\partial t} \]

利用矢量分析

(2)   \begin{align*} \vec{E} \cdot (\vec{\nabla} \times \vec{H}) = - \vec{\nabla} \cdot (\vec{E} \times \vec{H}) + \vec{H} \cdot (\vec{\nabla} \times \vec{E}) \\ = - \vec{\nabla} \cdot (\vec{E} \times \vec{H}) - \vec{E} \cdot \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \end{align*}

从而

(6.7)   \[\vec{J} \cdot \vec{E} = - \vec{\nabla} \cdot (\vec{E} \times \vec{H})- \vec{E} \cdot \frac{\partial \vec{D}}{\partial t} - \vec{E} \cdot \frac{\partial \vec{D}}{\partial t} \]

通过比较式子,可以得到

(6.8)   \[\vec{S} = \vec{E} \times \vec{H} \]

(6.9)   \[\frac{\partial \omega}{\partial t} = \vec{E} \cdot \frac{\partial \vec{D}}{\partial t} + \vec{H} \cdot \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \]

 

 

 

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