发布于 由Guangyu He

第0章 矢量分析

\vec{\nabla}算符：

    \[\vec{\nabla} = \vec{e}_x \frac{\partial}{\partial x} + \vec{e}_y \frac{\partial}{\partial y} + \vec{e}_z \frac{\partial}{\partial z}\]

矢量场\vec{f}的散度:

设闭合曲面S围着体积\Delta V。当\Delta V \rightarrow 0时，\vec{f}对S的通量与\Delta V之比的极限称为\vec{f}的散度，即:

(0.1)   \[\text{div} \vec{f} = \lim_{\Delta V \rightarrow 0} \frac{\oint \vec{f} \cdot d\vec{S}}{\Delta V} \]

在直角坐标系中，散度表示为：

(0.2a)   \[\text{div} \vec{f} = \frac{\partial f_x}{\partial x} + \frac{\partial f_y}{\partial y} + \frac{\partial f_z}{\partial z} \]

用\vec{\nabla}算符表示为：

(0.2b)   \[\text{div} \vec{f} = \vec{\nabla} \cdot \vec{f} \]

散度：作用于向量，得到一标量。表示一小向量区域内的发散程度，正值为发散，负值为收敛，大小表示程度。例子：“放屁”

矢量场\vec{f}的旋度:

设闭合曲线L围绕着面积\Delta S，当\Delta S \rightarrow 0时，\vec{f} 对L的环量与\Delta S 之比的极限称为\vec{f}的旋度沿该面法线的分量，即：

(0.3a)   \[(\text{rot} \vec{f})_n = \lim_{\Delta S \rightarrow 0} \frac{\oint \vec{f} \cdot d\vec{l}}{\Delta S} \]

上式也可以写为，当\Delta S \rightarrow 0时：

(0.3b)   \[\oint \vec{f} \cdot d\vec{l} = (\text{rot} \vec{f} )\cdot \Delta \vec{S} \]

在直角坐标系中，旋度表示为：

\text{rot} \vec{f} =

\vec{e}_x \vec{e}_y \vec{e}_z
\frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial}{\partial y} \frac{\partial}{\partial z}
f_x f_y f_z

(0.4a)   \[\]

用\vec{\nabla}算符表示为：

(0.4b)   \[\text{rot} \vec{f} = \vec{\nabla} \times \vec{f} \]

其中，\vec{e}_x,\vec{e}_y,\vec{e}_z是直角坐标系的三个单位矢量

旋度，作用于向量，得到一向量，其中向量的方向表示环流密度最大的方向，向量的大小表示环流密度。例子:围着音乐跳舞

标量场\varphi的梯度：

设沿线元d\vec{l}上，标量场\varphi 的数值改变为d\varphi。d\varphi / dl被成为\varphi的梯度沿d\vec{l}方向的分量，即：

(0.5a)   \[(\text{grad} \varphi)_l = \frac{d\varphi}{dl} \]

上式也可以写为：

(0.5b)   \[d\varphi = \text{grad} \varphi \cdot d\vec{l} \]

在直角坐标系中，梯度表示为：

(0.6b)   \[\text{grad} \varphi = \frac{\partial \varphi}{\partial x}\vec{e}_x + \frac{\partial \varphi}{\partial y}\vec{e}_y + \frac{\partial \varphi}{\partial z}\vec{e}_z \]

其中，\vec{e}_x,\vec{e}_y,\vec{e}_z是直角坐标系的三个单位矢量

用\vec{\nabla}算符表示为：

(0.6b)   \[\text{grad} \varphi = \vec{\nabla} \varphi \]

梯度，作用于标量，得到一向量，向量的方向指向变化最大的方向，向量的大小是变化的大小。例子：山

【未完待续】