第0章 矢量分析

\vec{\nabla}算符:

    \[\vec{\nabla} = \vec{e}_x \frac{\partial}{\partial x} + \vec{e}_y \frac{\partial}{\partial y} + \vec{e}_z \frac{\partial}{\partial z}\]


矢量场\vec{f}的散度:

设闭合曲面S围着体积\Delta V。当\Delta V \rightarrow 0时,\vec{f}对S的通量与\Delta V之比的极限称为\vec{f}的散度,即:

(0.1)   \[\text{div} \vec{f} = \lim_{\Delta V \rightarrow 0} \frac{\oint \vec{f} \cdot d\vec{S}}{\Delta V} \]

在直角坐标系中,散度表示为:

(0.2a)   \[\text{div} \vec{f} = \frac{\partial f_x}{\partial x} + \frac{\partial f_y}{\partial y} + \frac{\partial f_z}{\partial z} \]

\vec{\nabla}算符表示为:

(0.2b)   \[\text{div} \vec{f} = \vec{\nabla} \cdot \vec{f} \]

散度:作用于向量,得到一标量。表示一小向量区域内的发散程度,正值为发散,负值为收敛,大小表示程度。例子:“放屁”


矢量场\vec{f}的旋度:

设闭合曲线L围绕着面积\Delta S,当\Delta S \rightarrow 0时,\vec{f} 对L的环量与\Delta S 之比的极限称为\vec{f}的旋度沿该面法线的分量,即:

(0.3a)   \[(\text{rot} \vec{f})_n = \lim_{\Delta S \rightarrow 0} \frac{\oint \vec{f} \cdot d\vec{l}}{\Delta S} \]

上式也可以写为,当\Delta S \rightarrow 0时:

(0.3b)   \[\oint \vec{f} \cdot d\vec{l} = (\text{rot} \vec{f} )\cdot \Delta \vec{S} \]

在直角坐标系中,旋度表示为:

\text{rot} \vec{f} =

\vec{e}_x\vec{e}_y\vec{e}_z
\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial}{\partial y}\frac{\partial}{\partial z}
f_xf_yf_z

(0.4a)   \[\]

\vec{\nabla}算符表示为:

(0.4b)   \[\text{rot} \vec{f} = \vec{\nabla} \times \vec{f} \]

其中,\vec{e}_x,\vec{e}_y,\vec{e}_z是直角坐标系的三个单位矢量

旋度,作用于向量,得到一向量,其中向量的方向表示环流密度最大的方向,向量的大小表示环流密度。例子:围着音乐跳舞


标量场\varphi的梯度:

设沿线元d\vec{l}上,标量场\varphi 的数值改变为d\varphid\varphi / dl被成为\varphi的梯度沿d\vec{l}方向的分量,即:

(0.5a)   \[(\text{grad} \varphi)_l = \frac{d\varphi}{dl} \]

上式也可以写为:

(0.5b)   \[d\varphi = \text{grad} \varphi \cdot d\vec{l} \]

在直角坐标系中,梯度表示为:

(0.6b)   \[\text{grad} \varphi = \frac{\partial \varphi}{\partial x}\vec{e}_x + \frac{\partial \varphi}{\partial y}\vec{e}_y + \frac{\partial \varphi}{\partial z}\vec{e}_z \]

其中,\vec{e}_x,\vec{e}_y,\vec{e}_z是直角坐标系的三个单位矢量

\vec{\nabla}算符表示为:

(0.6b)   \[\text{grad} \varphi = \vec{\nabla} \varphi \]

梯度,作用于标量,得到一向量,向量的方向指向变化最大的方向,向量的大小是变化的大小。例子:山


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